题目内容

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当 $数学公式$
（1）求f（x）的解析式
（2）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性
（3）设g（x）是函数f（x）在区间（0，+∞）上的导函数．若a＞1且g（x）在区间 $数学公式$ 上的值域为 $数学公式$ ，求a的值．

解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0（1分）
又∵ $\text{[math]}$
∴当x＜0时-x＞0 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （3分）

（2）由（1）知当x∈（-∞，0）时， $\text{[math]}$ ，∴f'（x）=-2x-x²（4分）
令f'（x）=0得x=-2或x=0
当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（-2，0）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数
∴f（x）在区间（-∞，-2）上是减函，数在（-2，0）上是增函数．（7分）

（3）∵当x＞0时， $\text{[math]}$
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1
又∵a＞1
∴g（x）在区间 $\text{[math]}$ 上，当x=1时g（x）取得最大值1．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，g（x）_min=g（a）=2a-a²
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴所求的a的值为 $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数得f（0）=0，再设x＜0，则-x＞0，由 $\text{[math]}$ 求得整个定义域上的解析式；
（2）可选用导数法，由若导数大于零，则对应的区间为增区间，若导数小于零，则对应的区间为减区间判断．
（3）由（1）当 $\text{[math]}$ 可得g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，再利用二次函数求值域的方法求解．
点评：本题主要考查用函数的奇偶性求解析式，导数法研究单调性，构造新函数研究其性质等问题，旨在培养学生综合运用知识和方法的能力．