Question

设点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），T（x₀，f（x₀））在函数f（x）=x³-ax（a＞0）的图象上，其中x₁，x₂是f（x）的两个极值点，x₀（x₀≠0）是f（x）的一个零点，若函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，则a=________．

Answer 1

分析：先把函数的零点求出来，再对函数f（x）求导并求出其零点，列出表格和画出图象，利用在斜率存在的条件下两条直线垂直的充要条件k₁k₂=-1即可求出答案．
解答：令f（x）=0，（a＞0），则，解得x=0，．
∵x₀（x₀≠0）是f（x）的一个零点，∴或．
∵f^′（x）=3x²-a=，
令f^′（x）=0，解得，列表如下：
由表格可知：当x=时，函数f（x）取得极小值，且；
当x=-时，函数f（x）取得极大值，且=；
不妨设A，B．∴．
根据表格作出如下图象：
①当时．=2a，
∵函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，
∴，（a＞0），解得．
②当时．=2a，
∵函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，
∴，（a＞0），解得a=．
综上可知：满足条件的a的值为．
故答案为．
点评：充分利用导数研究函数的性质和理解函数的零点是解题的关键．