题目内容
设点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），T（x0，f（x0））在函数f（x）=x3-ax（a＞0）的图象上，其中x1，x2是f（x）的两个极值点，x0（x0≠0）是f（x）的一个零点，若函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，则a=
．
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
分析：先把函数的零点求出来，再对函数f（x）求导并求出其零点，列出表格和画出图象，利用在斜率存在的条件下两条直线垂直的充要条件k1k2=-1即可求出答案．
解答：解：令f（x）=0，（a＞0），则x(x+
)(x-
)=0，解得x=0，±
．
∵x0（x0≠0）是f（x）的一个零点，∴x0=-
或x0=
．
∵f′（x）=3x2-a=3(x+
)(x-
)，
令f′（x）=0，解得x=±
，列表如下：
由表格可知：当x=
时，函数f（x）取得极小值，且f(
)=-
；
当x=-
时，函数f（x）取得极大值，且f(-
)=
；
不妨设A(-
，
)，B(
，-
)．∴KAB=
．
根据表格作出如下图象：
①当x0=
时．f′(
)=2a，
∵函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，
∴-
×2a=-1，（a＞0），解得a=
．
②当x0=-
时．f′(
)=2a，
∵函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，
∴-
×2a=-1，（a＞0），解得a=
．
综上可知：满足条件的a的值为
．
故答案为
．
| a |
| a |
| a |
∵x0（x0≠0）是f（x）的一个零点，∴x0=-
| a |
| a |
∵f′（x）=3x2-a=3(x+
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| 3 |
| ||
| 3 |
令f′（x）=0，解得x=±
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| 3 |
由表格可知：当x=
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| 3 |
| ||
| 3 |
2a
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| 9 |
当x=-
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| 3 |
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| 3 |
2a
| ||
| 9 |
不妨设A(-
| ||
| 3 |
2a
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| 9 |
| ||
| 3 |
2a
| ||
| 9 |
| -2a |
| 3 |
根据表格作出如下图象：①当x0=
| a |
| a |
∵函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，
∴-
| 2a |
| 3 |
| ||
| 2 |
②当x0=-
| a |
| a |
∵函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，
∴-
| 2a |
| 3 |
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| 2 |
综上可知：满足条件的a的值为
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| 2 |
故答案为
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| 2 |
点评：充分利用导数研究函数的性质和理解函数的零点是解题的关键．
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