Question

（2011•揭阳一模）已知函数f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若对?x∈R，有f′(x)≥|x|-

4

3

成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）=x³-x²-x+2，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；
（2）求导函数f'（x）=3x²-2ax-1，对?x∈R，f′(x)≥|x|-

4

3

成立，可转化为3x2-2ax-1≥|x|-

4

3

对?x∈R成立，分类讨论，利用分离参数法，可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³-x²-x+2，求导函数可得f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），（2分）
令f'（x）=0，解得x1=-

1

3

，x2=1．
当f'（x）＞0时，得x＞1或x＜-

1

3

；当f'（x）＜0时，得-

1

3

＜x＜1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大	单调递减	极小	单调递增

（4分）
∴当x=-

1

3

时，函数f（x）有极大值，f(x)极大=f(-

1

3

)=2

5

27

，（5分）
当x=1时函数f（x）有极小值，f（x）_极小=f（1）=（16分）
（2）∵f'（x）=3x²-2ax-1，∴对?x∈R，f′(x)≥|x|-

4

3

成立，
即3x2-2ax-1≥|x|-

4

3

对?x∈R成立，（7分）
①当x＞0时，有3x2-(2a+1)x+

1

3

≥0，即2a+1≤3x+

1

3x

，对?x∈（0，+∞）恒成立，（9分）
∵3x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，当且仅当x=

1

3

时等号成立，∴2a+1≤2⇒a≤

1

2

（11分）
②当x＜0时，有3x2+(1-2a)x+

1

3

≥0，即1-2a≤3|x|+

1

3|x|

，对?x∈（-∞，0）恒成立，
∵3|x|+

1

3|x|

≥2

3|x|• 1 3|x|

=2，当且仅当x=-

1

3

时等号成立，
∴1-2a≤2⇒a≥-

1

2

（13分）
③当x=0时，a∈R
综上得实数a的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]．（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论、分离参数．