Question

关于x、y的方程x²+xy+2y²=29的整数解（x、y）的组数为

1. A.
   2组
2. B.
   3组
3. C.
   4组
4. D.
   无穷多组

Answer 1

C
分析：根据原方程的形式，将其看成是关于x的方程，则字母y变成方程的参数系数，利用一元二次方程根的判别式得△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0，再根据方程有整数解，说明这个根的判断式应该是平方数，由此可能得到的y²的取值为0、1、4、9或16，再经过讨论，可以得到符合题目的四组整数解．
解答：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x²+yx+（2y²-29）=0
由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数
由△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0解得y²≤≈16.57
y²014916△11610988534显然只有y²=16时，△=4是完全平方数，符合要求
当y=4时，原方程为x²+4x+3=0，此时x₁=-1，x₂=-3
当y=-4时，原方程为x²-4x+3=0，此时x₃=1，x₄=3
所以，原方程的整数解为，，，．
故选C
点评：本题考查了二元二次方程组的整数解问题，属于难题．分清题中的主元与次元，巧妙地利用关于x的一元二次方程，用根的判别式解题，是本题的关键所在．