Question

已知函数y＝，(1)求函数的定义域；(2)求函数的值域；(3)判断函数的单调性．

Answer 1

答案：
解析：

分析：将函数y＝解析式化简为y＝，根据分母不为零可以求函数的定义域；因为102x＞0，所以将函数y＝中102x看成未知数，把102x用关于y的式子g(y)表示，解关于不等式g(y)＞0即可得到函数的值域；判断函数的单调性可以运用函数单调性的定义． 　　解：(1)y＝＝．因为102x－1≠0，所以x≠0，所以函数y＝定义域为{x|x≠0}． 　　(2)由y＝得y·102x－y＝102x＋1，所以102x＝． 　　因为102x＞0，即＞0，所以y＜－1或y＞1． 　　所以函数的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 　　(3)设任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则 　　f(x1)－f(x2)＝ 　　＝ 　　＝． 　　因为x1，x2∈(－∞，0)，所以－1＜0，－1＜0． 　　又因为x1＜x2，所以＞，因而有f(x1)－f(x2)＞0． 　　所以函数y＝在(－∞，0)上为单调减函数． 　　设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，－1＞0，－1＞0，＞， 　　所以有f(x1)－f(x2)＞0． 　　所以函数y＝在(0，＋∞)上为单调减函数． 　　综上所述，函数y＝在(－∞，0)及(0，＋∞)上分别为单调减函数． 　　点评：若将函数式变形为y＝＝＝1＋，据此，根据102x－1随x的值的递增而递增以及x的取值范围，也可以求出函数的值域以及函数的单调区间．另外要注意的是：不能由y＝f(x)在(－∞，0)及(0，＋∞)上分别为单调减函数，得出函数y＝f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上为单调减函数，事实上，函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．