Question

如下图所示,在直角坐标系中,射线在第一象限,且与轴的正半轴成定角,动点在射线上运动,动点在轴的正半轴上运动,的面积为.

（Ⅰ）求线段中点的轨迹的方程;

（Ⅱ）是曲线上的动点, 到轴的距离之和为,

设为到轴的距离之积.问:是否存在最大的常数,

使恒成立?若存在,求出这个的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）（）（2）

解析:

（1）射线.               

设（），

则，                          

又因为的面积为，所以；          

  消去得点的轨迹的方程为：（）.

（2）设，则，              

     所以

                     

     令则，所以有，   

则有：当时，，

所以在上单调递减，

所以当时，，     

所以存在最大的常数使恒成立.