Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₆=13，S₁₀=120．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：bn=

2

an•an+1

，(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）用“a₁，d”法将a₆，s₁₀用a₁和d表示，解关于a₁和d的二元一次方程组．
（II）将an代入bn=

2

an•an+1

求得bn再选用裂项法求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，（1分）
由S₁₀=120，得2a₁+9d=24，（2分）
又a₆=a₁+5d=13．（3分）
解得a₁=3，d=2，（5分）
因此{a_n}的通项公式是：a_n=2n+1，（n=1，2，3，）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

2

an•an+1

=

2

(2n+1)(2n+3)

=

(2n+3)-(2n+1)

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

（9分）
所以T_n=b₁+b₂+b₃++b_n-2+b_n-1+b_n
=(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)++(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)（11分）
=

1

3

-

1

2n+3

=

2n

3(2n+3)

．（13分）

点评：本题主要考查等差数列通项公式和构造数列裂项法求和，是数列中常考的问题．