Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=

1

x+1

）．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求f（x₂）的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x+ 1 2 )2+a- 1 2

x+1

，
①当a≥

1

2

时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；
②当a＜

1

2

时，f′（x）=0有两个解，x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

，且x₁＜x₂，
若x₁＞-1，即0＜a＜

1

2

时，-1＜x₁＜x₂，此时f（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；
若x₁≤-1，即a≤0时，x₁≤-1＜x₂，此时f（x）在（-1，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增；
（2）由（1）知：当0＜a＜

1

2

时f（x）有两个极值点，x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

，x₁＜x₂，
则f（x₂）=(

-1+ 1-2a

2

)2+aln（

-1+ 1-2a

2

+1），令t=

1-2a

，0＜t＜1，a=

1-t2

2

，x2=

t-1

2

，
f（x₂）=(

t-1

2

)2+

1-t2

2

ln

t+1

2

，令g（t）=(

t-1

2

)2+

1-t2

2

ln

t+1

2

（0＜t＜1），g′（t）=-tln

t+1

2

＞0，
所以g（t）在（0，1）上为增函数，所以g（0）＜g（t）＜g（1），即

1

4

+

1

2

ln

1

2

＜g（t）＜0，
故f（x₂）的取值范围为（

1

4

+

1

2

ln

1

2

，0）．