Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2

3

，点P的坐标为（0，-2），过P的直线l与双曲线C交于不同两点M、N．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求t=

OM

•

ON

的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2

3

，建立方程，即可求得双曲线C的方程；
（2）假设直线方程，与双曲线方程联立，分类讨论，利用坐标表示向量的数量积，从而可确定t=

OM

•

ON

的取值范围．

解答：解：（1）双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为（c，0），一条渐近线方程为：bx-ay=0
∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2

3

∴

c

a

=2，

|bc|

b2+a2

=2

3

∵c²=a²+b²
∴b²=12，a²=4
∴双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

12

=1…（4分）
（2）点P的坐标为（0，-2），设过P的直线l的方程为y=kx-2，与双曲线方程联立可得

y=kx-2 3x2-y2=12

消去y可得（3-k²）x²+4kx-16=0…（5分）
（1）3-k²=0，不符合题意，舍去…（6分）
（2）3-k²≠0时，△=16（12-3k²）＞0得k²＜4
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x1+x2= -4k 3-k2

，

x1x2= -16 3-k2

…（8分）
∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=

12-12k2

3-k2

∴t=

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

-16

3-k2

+

12-12k2

3-k2

=

-4-12k2

3-k2

=12-

40

3-k2

∵k²＜4，3-k²≠0
∴3-k²＞-1，3-k²≠0
∴

1

3-k2

＜-1或

1

3-k2

＞ 0
∴12-

40

3-k2

＞52或12-

40

3-k2

＜ -

4

3

∴t＞52或t＜-

4

3

…（12分）

点评：本题重点考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，解题的关键是直线与双曲线方程的联立，将数量积转化为坐标关系．