Question

已知函数f（x）=x-cosx则方程f（x）=所有根的和为________．

Answer 1

分析：利用导数研究函数y=f（x）的单调性，可得f（x）=x-cosx在（-，）上是增函数，结合f（）=得到在（-，）上有且只有一个实数x=满足f（x）=．再由cosx的有界性和不等式的性质，证出当x≤-时，有f（x），且x≥时，f（x）＞．因此当x∉（-，）时，方程f（x）=没有实数根，由此即可得到方程f（x）=只有一实数根x=，得到本题答案．
解答：∵f（x）=x-cosx，∴f'（x）=+sinx，
当x∈（-，）时，因为sinx，所以f'（x）=+sinx＞0
∴f（x）=x-cosx在（-，）上是增函数
∵f（）=-cos=
∴在区间（-，）上有且只有一个实数x=满足f（x）=．
又∵当x≤-时，x＜-，-cosx≤1，∴当x≤-时，f（x）=x-cosx≤1-，
由此可得：当x≤-时，方程f（x）=没有实数根
同理可证：当x≥时，方程f（x）≥-1＞，所以方程f（x）=也没有实数根
综上所述，方程f（x）=只有一个实数根x=，因此方程f（x）=所有根的和为
故答案为：
点评：本题给出基本初等函数f（x）=x-cosx，求方程f（x）=所有根的和．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的图象与性质、函数的零点和不等式的性质等知识，属于中档题．