Question

【题目】

已知动圆恒过且与直线相切，动圆圆心的轨迹记为；直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点， ， 为坐标原点.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并求直线的斜率的取值范围；

（2）点是轨迹上异于， 的任意一点，直线， 分别与过且垂直于轴的直线交于， ，证明： 为定值，并求出该定值；

（3）对于（2）给出一般结论：若点，直线，其它条件不变，求的值（可以直接写出结果）.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：根据抛物线的定义可知圆心的轨迹为抛物线，求出抛物线的方程，联立直线和抛物线方程，设而不求，代入得出关于的一元二次方程，利用跟与系数关系得出和，根据直线与抛物线有两个交点，求出的范围；写出方程，解出坐标，表示，化简出结论.

试题解析：

（1）由动圆恒过且与直线相切得，点到与到直线距离相等，所以圆心的轨迹的方程为：

联立得， ，

当时，一次方程只有一个根，所以不成立.

所以 解得

总之，直线的斜率的取值范围为

（2）设， ， ，

直线： ，即：

其与的交点，

同理与的交点

所以

由（1）中的得， 代入上式得

故

（3）略证：不作要求只给结论分.

（联立得， 所以，得

p>直线： ，即：

，

所以 ，