Question

已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y²=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图
（1）证明：为定值；
（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
（3）证明直线PQ恒过一个定点.

Answer 1

解：（1）设点
∵P、M、A三点共线，
∴ k_AM=k_PM，
即
即，
∴y₁y₂=4，

即为定值．
（2）解：设∠POM=α，则·cosα=5.
∵，·sinα=5．
由此可得tanα=1，又α∈（0，π），
∴α=45°，
故向量与的夹角为45°．
（3）证明：设点，
∵M、B、Q三点共线，
∴k_BQ= k_OM ，
即，
即
∴（y₃+1）（y₁+y₃）=
即y₁y₃+y₁+y₃+4=0.
由（1）知y₁y₂=4，即
∴
即4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0.（*）
 ∵
∴直线PQ的方程是
（y-y₂）（y₂+y₃）=
即y（y₂+y₃）-y₂y₃=4x
由（*）式，得-y₂y₃=4（y₂+y₃）+4，代入上式，得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1）．
由此可知直线PQ过定点（1，-4）。