Question

已知sin(2α-β)=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈(

π

2

，π)，β∈(-

π

2

，0)，求cos2α，sinα的值．

Answer 1

分析：由于2α=（2α-β）+β，利用两角和的余弦即可求得cos2α，进一步可求得sinα的值．

解答：解：∵α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0）
∴-β∈（0，

π

2

），
∴π＜2α-β＜

5π

2

，
又sin（2α-β）=

3

5

，sinβ=-

12

13

，
∴cos（2α-β）=

4

5

，cosβ=

5

13

，
∴cos2α=cos[（2α-β）+β]
=cos（2α-β）cosβ-sin（2α-β）sinβ
=

4

5

×

5

13

-

3

5

×（-

12

13

）
=

56

65

．
∵α∈（

π

2

，π），
∴sinα=

1-cos2α 2

=

1- 56 65 2

=

3

130

=

3 130

130

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正弦与余弦，考查综合分析与运算能力，属于中档题．