Question

已知函数f（x）=xlnx．  
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函数f（x）的减区间．
（2）由f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，知xlnx≥-x2+ax-6⇒a≤x+lnx+

6

x

，g(x)=x+lnx+

6

x

，由此能够求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵f′(x)=1+lnx＜0⇒0＜x＜

1

e

，
∴函数f（x）的减区间为(0，

1

e

)．
（2）∵f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
∴xlnx≥-x2+ax-6⇒a≤x+lnx+

6

x

，g(x)=x+lnx+

6

x

，
g′(x)=

x2+x-6

x2

，
当x＞2时，g（x）是增函数，
当0＜x＜2时，g（x）是减函数，
∴a≤g（2）=5+ln2．
即实数a的取值范围是（-∞，5+ln2）．

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．