Question

已知数列{a_n}满足：a₁=λ，，其中λ∈R是常数，n∈N^*．
（1）若λ=-3，求a₂、a₃；
（2）对?λ∈R，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若λ+12＞0，讨论{S_n}的最小项．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得a₁=-3，把n=2，n=3分别代入递推公式可求a₂，a₃
（2）利用待定系数法构造数列b_n=a_n-3n+15为等比数列，可先求数列b_n的前n项和，然后利用分组求和求数列{a_n}的前项和s_n
（3）结合（2）可先求a_n=，观察可得当n≥5时，a_n＞0，通过计算，从而对①②③④分别进行判断数列单调性，从而求和的最小值．
解答：解：（1）a₁=-3，a₂=+（1-2）=-3，a₃=a₂+（2-2）=-2．
（2）设b_n=a_n+αn+β，α、β∈R是常数，代入得，
解，
得，即b_n=a_n-3n+15，．
若λ≠-12，则{b_n}是首项为b₁=λ+12≠0、公比为的等比数列，
所以{b_n}的前n项和
数列{3n-15}的前n项和为，所以．
若λ=-12，则b_n=0，a_n=3n-15，9．
综上所述，?λ∈R，．
（3），
a₁=λ，，，，
当n≥5时a_n＞0，
所以，当时，?n∈N^*有a_n＞0，{S_n}的最小项是S₁；
当时，{S_n}的最小项是S₁、S₂和S₃；
当时，{S_n}的最小项是S₃；
当时，{S_n}的最小项是S₃和S₄；当时，{S_n}的最小项是S₄．
点评：本题主要考查了利用构造求数列的通项及求和，结合数列的单调性求数列的最值问题，需要考生具备一定的逻辑推理与运算的能力．