Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足（a>2，且a¹1），设y₄=17，y₇=11．

（1）问数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值是多少？

（2）设b_n=，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求4的值；

（3）试判断，是否存在正不整数M，使当n>M时，x_n>1恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（1），令xn=x1qn-1，∴ yn为等差数列．yn=y0n+k，由y4=17，y7=11，解得yn=25-2n．令yn³0，且yn+1<0，得．故{yn}的前12项和最大，S12=144． （2）{bn}是以223为首项，以为公比的等比数列，可得． （3）由（1）知，当n>12时，yn<0恒成立，由yn=2logaxn，得．（ⅰ）当0<a<1，且n>12时，有；（ⅱ）当a>1，且n>12时，有an<1．故当xn>1恒成立．