Question

选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为

x=2+ 1 2 t y= 3 2 t

，（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析：（I）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出．
（2）把直线l的参数方程代入抛物线C的方程，利用参数的几何意义即可得出．

解答：解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ，得ρ²sin²θ=8ρcosθ．
∴y²=8x即为C的直角坐标方程；
（II）把直线l的参数方程

x=2+ 1 2 t y= 3 2 t

，（t为参数），代入抛物线C的方程，整理为3t²-16t-64=0，
∴t1+t2=

16

3

，t1t2=-

64

3

．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

32

3

．

点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线参数方程的参数的几何意义等是解题的关键．