Question

已知函数f（x）=x²﹣2x﹣8，g（x）=2x²﹣4x﹣16，

（1）求不等式g（x）＜0的解集；

（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：

一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

（1）直接因式分解后求解不等式的解集；

（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．

解答：

解：由g（x）=2x²﹣4x﹣16＜0，得x²﹣2x﹣8＜0，

即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．

所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；

（2）因为f（x）=x²﹣2x﹣8，

当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，

则x²﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，

即x²﹣4x+7≥m（x﹣1）．

所以对一切x＞2，均有不等式成立．

而（当x=3时等号成立）．

所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．

点评：

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．