Question

（附加题）试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用换元法，设sinx+cosx=t则 2sinxcosx=t²-1，从而将函数转化为t的函数，利用配方法，注意变量的范围，即可求得函数的最大值和最小值．

解答：解：设sinx+cosx=t则 2sinxcosx=t²-1…（2分）
其中t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]…（4分）
所以函数化为y=t2+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

，t∈[-

2

，

2

]…（6分）
所以，当t=-

1

2

时，ymin=

3

4

．当t=

2

时，ymax=3+

2

…（10分）

点评：本题以三角函数为载体，考查函数的最值，考查配方法的运用．换元是关键，别忘了变量范围的变化