Question

已知a为实数，函数f（θ）=sinθ+a+3．
（1）若f（θ）=cosθ（θ∈R），试求a的取值范围；
（2）若a＞1，，求函数f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer 1

解：（1）f（θ）=cosθ即sinθ-cosθ=-3-a，又，
所以，从而a的取值范围是．
（2），令sinθ+1=x，则0＜x≤2，因为a＞1，
所以，当且仅当时，等号成立，
由解得，所以当时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是；
下面求当时，函数f（θ）+g（θ）的最小值．
当时，，函数在（0，2]上为减函数．
所以函数f（θ）+g（θ）的最小值为．
当时，函数在（0，2]上为减函数的证明：任取0＜x₁＜x₂≤2，，因为0＜x₂x₁≤4，3（a-1）＞4，
所以，h（x₂）-h（x₁）＜0，由单调性的定义函数在（0，2]上为减函数．
于是，当时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是；
当时，函数f（θ）+g（θ）的最小值．
分析：（1）根据题意可知sinθ-cosθ=-3-a，然后根据辅助角公式求出sinθ-cosθ的范围，从而求出a的范围；
（2）讨论a，当时利用基本不等式求出函数的最值，当时利用函数的单调性求出最值即可．
点评：本题主要考查了函数的值域，以及利用基本不等式求最值和利用函数单调性求最值，属于中档题．