题目内容

已知向量a=(cosx+2sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设函数f(x)=a·b.

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的集合.

解:(1)由已知可得

f(x)=(cosx+2sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx

=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx=cos2x+3sinxcosx-2sin2x

=(1+cos2x)+sin2x+(cos2x-1)=(sin2x+cos2x)=sin(2x+)，

由2kπ-＜2x+＜2kπ+,得kπ＜x＜kπ+,

即函数f(x)的单调递增区间为(kπ,kπ+)(k∈Z).

(2)由(1)有f(x)=sin(2x+),∴f(x)max=.

所求x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.

练习册系列答案
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已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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