Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+1在区间（-∞，-2]上是增函数，在区间[-2，2]上是减函数，且b≥0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设0＜m≤2，若对任意的t₁，t₂∈[m-2，m]，不等式

.

f(t1)- f(t2)

.

≤16m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，若令f′（x）=0，则x₁=-2，x₂≥2，再由根与系数的关系得到x2=2-

2b

3

≥2，可得b≤0，结合b≥0以及f′（-2）=0，可得f（x）的表达式；
（2）若对任意的t₁，t₂∈[m-2，m]，不等式|f（t₁）-f（t₂）|≤16m恒成立，等价于[f（x）]_max-[f（x）]_min≤16m，求出函数的最值，即可确定m的取值范围，从而可得m的最小值．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=3x²+2bx+c，
由于函数f（x）在区间（-∞，-2]上单调递增，在[-2，2]上单调递减，
若令f′（x）=0，则x₁=-2，x₂≥2
∴x1+x2=-

2b

3

，即x2=2-

2b

3

≥2，
∴b≤0，又∵b≥0，∴b=0，
从而f′（x）=3×（-2）²+c=0，∴c=-12，
所以f（x）=x³-12x+1；
（Ⅱ）求导数f′（x）=3（x+2）（x-2），
则f（x）在[-2，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增
∵0＜m≤2，∴-2＜m-2≤0，∴f（x）在[m-2，m]上单调递减
∴[f（x）]_max=f（m-2），[f（x）]_min=f（m）
依题意[f（x）]_max-[f（x）]_min≤16m，即3m²+2m-8≥0
∴m≤-2或m≥

4

3

又∵0＜m≤2，∴

4

3

≤m≤2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，正确运用函数的单调性是关键．