Question

如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC.

Answer 1

思路解析：根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条直线垂直.根据H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH.

证明：∵H是△ABC的垂心，

∴AH⊥BC.                                                              ①

∵PA⊥PB，PB⊥PC，PB∩PC=P,

∴PA⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC，PA⊥BC，                                    ②

由①②知，BC⊥平面PAH，从而BC⊥PH，

同理，AB⊥PH，

∴PH⊥平面ABC.

方法归纳  根据所求证的结论寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中筛选出我们证题所需要的结论，这种分析问题的方法称为由因导果，它发散性较强.