Question

已知函数f（x）=x3-(

3

2

m+1)x2+2mx(m∈R)．
（1）若m=1，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）=

1

4

x[f(x)+(

3

2

m+1)x2]+(3-m)lnx至少有一个极值点，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=x3-(

3

2

m+1)x2+2mx(m∈R)，
m=1，
∴f′（x）=3x²-5x+2=（3x-2）（x-1），
令f′（x）＞0，得x＜

2

3

，或x＞1，
由f′（x）＜0，得

2

3

＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，

2

3

），（1，+∞）上为增函数，
在（

2

3

，1）上为减函数．
（2）∵g（x）=

1

4

x4+

1

2

mx2+(3-m)lnx，(x＞0)
∴g′(x)=x3+mx+

3-m

x

，x＞0，
∴g′(x)=

x4+mx2+(3-m)

x

，x＞0
令g′（x）=0，得x⁴+mx²+（3-m）=0（*），
①当△=m²-4（3-m）≤0，
即-6≤m≤2时，
方程（*）无解，此时g（x）无极值点．
②当△=m²-4（3-m）＞0，
即m＜-6或m＞2时，
（i）当3-m＜0，即m＞3时，方程（*）有一正、一负两个根，
∵t=x²，∴方程x⁴+mx²+（3-m）=0只有一个正数解，
此时g（x）只有一个极值点．
（ii）当

m＜-6，或m＞2 -m＞0 3-m＞0

时，即m＜-6时，
方程（*）有两个相异正根，
∵t=x²，∴方程x⁴+mx²+（3-m）=0恰有两个相异正数解，
此时g（x）有两个极值点，
由①②知，g（x）至少一个极值点时，m的取值范围是m＜-6或m＞3．