Question

在△ABC中，a，b，c是内角，A，B，C的对边，且tanB•cosC=2sinA-sinC．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若

AB

•

BC

=-

1

2

，求b的最小值．

Answer 1

（ I）原式可化为sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB…（1分）
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴cosB=

1

2

…（5分）
∴B=

π

3

…（6分）
∴B=

π

3

…(6分)
（ II）

AB

•

BC

=accos（π-

π

3

）=-

1

2

ac=-

1

2

，
∴ac=1…（8分）
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=1，
∴bc≥1．
即b的最小值是1（此时△ABC为边长是1的等边三角形）…．（12分）