Question

已知函数f（x）=x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1），
（1）证明：a_n≥2ⁿ-1（n∈N^*）
（2）试比较+…+与1的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导函数，再利用a_n+1≥f′（a_n+1），得a_n+1≥a₂ⁿ+2a_n，借助于数学归纳法加以证明；
（2）由（1）得，利用放缩法，再利用等比数列的求和公式即可证得．
解答：解：（1）证明：∵f′（x）=x²-1，∴a_n+1≥a_n²+2a_n…（2分）
1）当n=1时，a₁≥1=2¹-1，命题成立； …（3分）
2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即a_k≥2^k-1；
那么当n=k+1时，a_k+1≥a_k²+2a_k=a_k（a_k+2）=2^2k-1≥2^k+1-1…（6分）
即当n=k+1时，命题成立；
所以，综上所述，命题成立…（7分）
（2）∵a_n≥2ⁿ-1，∴1+a_n≥2ⁿ，∴，∴+…+…（12分）
点评：本题主要考查与数列有关的不等式的证明问题，考查了数学归纳法及放缩法的证明，有一定的综合性．