题目内容

在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边形，下列说法中正确的个数是

①n个小曲边形的面积和等于S

②n个小曲边形的面积和小于S

③n个小曲边形的面积和大于S

④n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定

[　　]

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

答案：A
解析：

根据“化整为零”“积零为整”的思想，知①是正确的．

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①n个小曲边形的面积和等于S；

②n个小曲边形的面积和小于S；

③n个小曲边形的面积和大于S；

④n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定．

1

2

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在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边形，则下列说法正确的是

n个小曲边形的面积和等于S

n个小曲边形的面积和小于S

n个小曲边形的面积和大于S

n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定

已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若数列{a_n}满足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，证明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n_＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}为等比数列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁qⁿ^－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)证明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n-1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边形，则下列说法正确的是

A.
n个小曲边形的面积和等于S
B.
n个小曲边形的面积和小于S
C.
n个小曲边形的面积和大于S
D.
n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定