Question

（2012•道里区三模）已知抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为

1

4

，且C上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，并且x1x2=-

1

2

，那么m=（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  5

  2

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：先确定抛物线方程，设出直线AB方程代入抛物线方程，求出AB中点坐标，即可求得m的值．

解答：解：抛物线C：y=ax²（a＞0）可化为x2=

1

a

y（a＞0）
∵抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为

1

4

，
∴

1

2a

=

1

4

，∴a=2
∴y=2x²，
∵C上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，
∴直线AB斜率为-1，
设直线方程为y=-x+b与y=2x²联立得2x²+x-b=0
∴x1x2=-

b

2

=-

1

2

，∴b=1
∵x₁+x₂=-

1

2

，y₁+y₂=

5

2

，
∴AB中点坐标为（-

1

4

，

5

4

）
代入y=x+m得m=

3

2

故选A．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．