Question

（2012•道里区三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB-bcosA=

1

2

c，当tan（A-B）取最大值时，角C的值为

π

2

．

Answer 1

分析：利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到tanA=3tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），将tanA=3tanB代入，利用基本不等式变形，求出tan（A-B）取得最大值时tanA与tanB的值，进而确定出A与B的度数，即可此时得到C的度数．

解答：解：利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosB-sinBcosA=

1

2

sinC=

1

2

sin（A+B）=

1

2

（sinAcosB+cosAsinB），
整理得：sinAcosB=3cosAsinB，
两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB，
则tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

2tanB

1+3tan2B

=

2

3tanB+ 1 tanB

，
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
∴3tanB+

1

tanB

≥2

3

，当且仅当3tanB=

1

tanB

，即tanB=

3

3

时取等号，
∴tanA=3tanB=

3

，
∴A=

π

3

，B=

π

6

，
则C=

π

2

．
故答案为：

π

2

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．