Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小．
（2）向量

m

=（cosA，sinA），向量

n

=（cosA，-sinA），求

m

•

n

的最小值．

Answer 1

（1）由（2a-c）cosB=bcosC得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC          …（2分）
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA…（4分）
又∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又B∈（0，π），故B=

π

3

 …（6分）
（2）∵B=

π

3

，
又∵A+C=

2π

3

，
∴A∈（0，

2π

3

），2A∈（0，

4π

3

），
∴-1≤cos2A＜1 …（10分）
又∵

m

=（cosA，sinA），

n

=（cosA，-sinA），

m

•

n

=cos²A-sin²A=cos2A，
∴

m

•

n

的最小值为-1．…（12分）