Question

直线y=x+b与曲线2y=

20-x2

有两个不同的公共点，则实数b∈（　　）

• A．[-2

  5

  ，5)
• B．（-5，5）
• C．[-2

  5

  ，2

  5

  ]
• D．[2

  5

  ，5)

Answer 1

分析：曲线表示以F₁（-

15

，0），F₂（

15

，0）为焦点的上半个椭圆，当直线y=x+b与上半个椭圆有两个不同的相点时，满足条件．

解答：解：∵2y=

20-x2

∴

x2

20

+

y2

5

=1（y≥0）即表示以F₁（-

15

，0），F₂（

15

，0）为焦点的上半个椭圆，
结合图象可知直线应介于图中两平行线的位置满足条件
当直线过左顶点（-2

5

，0）时b=2

5

当直线与椭圆相切时，设切点为（m，

1

2

20-m2

）
切线的斜率为1=f′（m）=

-m

2 20-m2

解得m=-4
∴切点为（-4，1），而切点在直线y=x+b上，则b=5
∴直线y=x+b与曲线2y=

20-x2

有两个不同的公共点，则实数b∈[2

5

，5）
故选D．

点评：本题考查了直线和椭圆的位置关系，主要考查了直线与椭圆相交的性质以及导数的几何意义，体现了数形结合及函数与方程的数学思想，属于中档题．