Question

15．已知cosα=$\frac{3}{5}$，α的终边在第四象限，求sin$\frac{α}{2}$，cos$\frac{α}{2}$，tan$\frac{α}{2}$的值．

Answer 1

分析 利用α所在的象限判断出$\frac{α}{2}$所在的象限，进而分别看$\frac{α}{2}$在第二和第四象限两种情况下分别利用二倍角公式求得sin$\frac{α}{2}$和cos$\frac{α}{2}$的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得tan$\frac{α}{2}$的值．

解答 解：α的终边在第四象限，且cosα=$\frac{3}{5}$，
∴2kπ-$\frac{π}{3}$＜α＜2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，即kπ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{α}{2}$＜kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z，
∴$\frac{α}{2}$为第二或第四象限角．
由半角公式可知：sin²$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-cosα）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{5}$，
cos²$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$（1+cosα）=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{3}{5}$）=$\frac{4}{5}$，
当$\frac{α}{2}$为第二象限角，
∴sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，tan$\frac{α}{2}$＜0，
∴sin$\frac{α}{2}$=$\sqrt{si{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos$\frac{α}{2}$=-$\sqrt{co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=-$\frac{1}{2}$；
当$\frac{α}{2}$为第四象限角，
∴sin$\frac{α}{2}$＜0，cos$\frac{α}{2}$＞0，tan$\frac{α}{2}$＜0，
∴sin$\frac{α}{2}$=-$\sqrt{si{n}^{2}\frac{α}{2}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos$\frac{α}{2}$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了二倍角公式的化简求值．解题的过程中注意利用角的范围确定三角函数的符号，属于基础题．