Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（1）求实数a，b的值；
（2）设h（x）=f（x）-6x（x∈R），求函数h（x）的极大值和极小值；
（3）设f（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（0）=b，∴点P （0，b）．∵f′（x）=x²-2x+a，
∴函数f（x）的图象在点P处的切线斜率为 a，故此处的切线方程为  y-b=a （x-0），
即 y=ax+b．又已知此处的切线方程为y=3x-2，∴a=3，b=-2．
（2）∵h（x）=f（x）-6x=

1

3

x³-x²+ax+b-6x=

1

3

x³-x² -3x-2，
∴h′（x）=x²-2x-3，令 h′（x）=0，得 x=-1，或 x=3．
在x=-1的左侧，h′（x）＞0，在x=-1的右侧，h′（x）＜0，故h（x）在x=-1处取极大值为-

1

3

．
在x=3 的左侧，h′（x）＜0，在x=3的右侧，h′（x）＞0，故h（x）在x=-1处取极小值为-11．
（3）∵k（x）=f（x）+

m

x-1

=

1

3

x³-x²+3x-2+

m

x-1

，k′（x）=x2-2x +3 - 

m

(x-1)2

．
由题意得，k′（x）在[2，+∞）上 大于或等于0，即 x≥2时，x2-2x +3 -

m

(x-1)2

≥0 恒成立，
即 m≤（x²-2x+3 ）（x-1）² 恒成立．
∵（x²-2x+3 ）（x-1）² 在[2，+∞）上是单调增函数，故x≥2时（x²-2x+3 ）（x-1）² 的最小值为3，
∴m≤3．