Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）。

（1）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ·tanφ=1，求λ的值。

Answer 1

解：（1）如图，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。 SD⊥平面ABCD， ∴BD是BE在平面ABCD上的射影， ∴AC⊥BE。 （2）如图，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=， ∵SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴SD⊥CD。 又底面ABCD是正方形， ∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE， 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=θ。 在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE= ∴ 在Rt△ADE中，∵ ∴ 从而 在中， 由，得 由，解得，即为所求。