Question

已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

），满足f（x）=-f（x+π），f（0）=

1

2

，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值之和为（　　）

• A、

  3

  -1
• B、

  3

  -2
• C、2

  3

  -1
• D、2

Answer 1

分析：根据条件分别求出函数f（x）和g（x）的表达式，利用三角函数的图象和性质即可求出函数的最值．

解答：解：∵f（0）=

1

2

，
∴f（0）=sinφ=

1

2

，
∴φ=

π

6

，f（x）=sin（ωx+

π

6

），
∵f（x）=-f（x+π），
∴f（x+π）=-f（x），即f（x+2π）=-f（x+π）=f（x），
即函数的周期是2π，
故T=

2π

ω

=2π，
∴ω=1，即f（x）=sin（x+

π

6

），
则g（x）=2cos（ωx+φ）=2cos（x+

π

6

），
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，
∴当x+

π

6

=

π

6

时，g（x）取得最大值g（x）=

3

，
当x+

π

6

=

2π

3

时，g（x）取得最小值g（x）=-1，
∴g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值之和为

3

-1，
故选：A．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．