Question

（2013•江门二模）（1+2x）ⁿ的展开式中x³的系数等于x²的系数的4倍，则n等于

8

．

Answer 1

分析：设（1+2x）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1，利用（1+2x）ⁿ的展开式中x³的系数等于x²的系数的4倍，得到n的关系式，解之即可．

解答：解：设（1+2x）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1，
则T_r+1=

C

r n

（2x）^r=2^r•

C

r n

•x^r，
令r=3得展开式中x³的系数为：8

C

3 n

，
令r=2得展开式中x²的系数为4

C

2 n

．
依题意，8

C

3 n

=4×4

C

2 n

，
即

n(n-1)(n-2)

3×2×1

=2×

n(n-1)

2

，解得n=8．
故答案为：8．

点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查展开式的通项公式，考查理解与运算能力，属于中档题．