Question

【题目】如图，在三棱锥 中， 底面 分别是 的中点， 在 ，且 .

（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）证明：由 ，
是 的中点，得 ，
因为 底面 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
因此 ，又因为 ，
所以 ，
则 ，即 ，因为 底面 ，
所以 ，又 ,
又 ，所以 平面 .
（2）解：假设满足条件的点 ，存在，
并设 ，以 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间之间坐标系 ，
则 ，
由 ，所以 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
即 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
即 ，
由二面角 的大小为 ，得 ，
化简得 ，又 ，求得 ，于是满足条件的点 存在，且 .

【解析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得到线线垂直，再由已知的线线垂直结合线面垂直的判定定理即可得证。(2)根据题意结合已知条件根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面AFG和平面AEF的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值进而得到t的值于是满足条件的点 G 存在。