Question

（本小题满分12分）

对于函数f(x)，若存在x₀∈R,使f(x₀)=x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点  已知函数f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)的两个不动点为–1,3

（2）0＜a＜1

【解析】解  （1）当a=1,b=–2时，f(x)=x²–x–3，。。。。2分

由题意可知x=x²–x–3，得x₁=–1,x₂=3  。。。。6分

故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3  。。。。7分

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，

∴x=ax²+(b+1)x+(b–1)，

即ax²+bx+(b–1)=0恒有两相异实根。。。。。9分

∴Δ=b²–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立  。。。。。11分

于是Δ′=(4a)²–16a＜0解得0＜a＜1。。。。13分

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1  。。。。。。12分