Question

已知函数f(x)在R上同时满足条件：①对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0，则函数f(x)在R上

A.是奇函数且是减函数                          B.是奇函数且是增函数

C.是奇函数且不具有单调性                      D.是偶函数且不具有单调性

Answer 1

A

解析:∵x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,

∴f(x-x)=f(x)+f(y).∴f(x)+f(y)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),

∴f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).

取x₁＜x₂,则f(x₂-x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁)＜0,

∴f(x₂)＜f(x₁).

∴f(x)在R上是奇函数且是减函数.故选A.