题目内容

在单调递增数列{an}中，a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=l，2，3，…．
(Ⅰ)分别计算a3，a5和a4，a6的值；
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
(Ⅲ)设数列的前n项和为Sn，证明：，n∈N*。
解：(Ⅰ)由已知得。
(Ⅱ)，，…
，…
∴猜想：，
以下用数学归纳法证明之。
①当n=1时，，猜想成立；
②当n=k（k≥1，k∈N*）时，猜想成立，即，
那么
，

，
∴n=k+1时，猜想成立，
由①②，根据数学归纳法原理，对任意n∈N*，猜想成立；
∴当n为奇数时，；
当n为偶数时，；
即数列{an}的通项公式为。
 (Ⅲ)由(Ⅱ)得，
显然；
当n为偶数时，



；
当n为奇数时，



综上所述，。
练习册系列答案
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在单调递增数列{an}中，a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．
（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；
（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
（3）设数列{
1
an
}的前n项和为Sn，证明：Sn＜
4n
n+2
，n∈N*．
（2011•东城区二模）在单调递增数列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n对任意n∈N*都成立．
（Ⅰ）求a2的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{an}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求证：对任意的n∈N*，
bn-cn
an-12
≥0．
在单调递增数列{an}中，a1=2，不等式(n+1)an≥na2n对任意n∈N*都成立，
（Ⅰ）求a2的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{an}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，求证：对任意的n∈N*，。
在单调递增数列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n对任意n∈N*都成立．
（Ⅰ）求a2的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{an}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，，求证：对任意的n∈N*，．
在单调递增数列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n对任意n∈N*都成立．
（Ⅰ）求a2的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{an}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，，求证：对任意的n∈N*，．

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