Question

在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式(n+1)a_n≥na_2n对任意n∈N*都成立，
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，求证：对任意的n∈N*，。

Answer 1

（Ⅰ）解：因为{a_n}是单调递增数列，所以，
令n=1，，所以。
（Ⅱ）证明：数列{a_n}不能为等比数列。
用反证法证明：假设数列{a_n}是公比为q的等比数列，，
因为{a_n}单调递增，所以q＞1，
因为n∈N*，(n+1)a_n≥na_2n都成立，
所以n∈N*，， ①
因为q＞1，所以，使得当时，，
因为（n∈N*），
所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立。
（Ⅲ）证明：观察：，，…，
猜想：；
用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，成立；
（2）假设当n=k时，成立；
当n=k+1时，

，
所以，
根据（1）（2）可知，对任意n∈N*，都有，即，
由已知得，
所以，
所以当n≥2时，，
因为，
所以对任意n∈N*，，
对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，
因为数列{a_n}单调递增，所以，，
因为，
所以。