Question

已知函数f（x）=asinx•cosx-acos²x+a+b（a＞0）
（1）化简函数的解析式将其写成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）求函数的单调递减区间及函数图象的对称中心；
（3）当x∈[0，]时，f（x）的最小值是-2，最大值是，求实数a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的解析式将其写成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）利用正弦函数的单调增区间求函数的单调递减区间，正弦函数的对称中心求解函数图象的对称中心；
（3）当x∈[0，]时，求出函数相位的范围，推出函数的值域，利用f（x）的最小值是-2，最大值是，列出方程组求实数a，b的值．
解答：解：（1）函数f（x）=asinx•cosx-acos²x+a+b
=
=asin（2x-）+b （4分）
（2）令：，k∈Z，
得，k∈Z，
故函数的单调减区间是． （6分）
令 ，解得，
∴函数图象的对称中心为，k∈Z，（8分）
（3）∵当x∈[0，]时，，
故sin（2x-）≤1 （10分）
f（x）的最小值是-2，最大值是，
又∵a＞0，∴解得  （12分）
点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角以及两角和的正弦函数的应用，正弦函数的基本性质的考查．