题目内容

12．已知（x+1）2（x+2）2011=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a2013（x+2）2013，求$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$的值．

分析 利用二项式定理，对等式中的x赋值-2，可求得a0=0，再令x=-$\frac{3}{2}$，即可求得$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$的值．

解答 解：∵（x+1）2（x+2）2011=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a2013（x+2）2013，
∴令x=-2，得：a0=0；
再令x=-$\frac{3}{2}$，得：a0+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$=（-$\frac{3}{2}$+1）2（-$\frac{3}{2}$+2）2011=${（\frac{1}{2}）}^{2013}$，而a0=0，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$=（-$\frac{3}{2}$+1）2（-$\frac{3}{2}$+2）2011=${（\frac{1}{2}）}^{2013}$．

点评 本题考查二项式定理的应用，观察等式的特点后对变量x赋值是解决问题的关键，属于中档题．

练习册系列答案
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