Question

4．已知函数f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{6}$）与函数g（x）=3sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象的对称中心完全相同，则函数f（x）图象的一条对称轴是（　　）

• A． x=$\frac{3}{4}$
• B． x=$\frac{π}{2}$
• C． x=$\frac{π}{4}$
• D． x=$\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 依题意，可知函数f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{6}$）与函数g（x）=3sin（2x+φ）的周期相同，从而可得ω=±2；再由0＜φ＜$\frac{π}{2}$进一步确定ω=2，即可求得答案．

解答 解：∵函数f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{6}$）与函数g（x）=3sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象的对称中心完全相同，
∴两函数的周期相同，
∵g（x）=3sin（2x+φ）的周期T₁=$\frac{2π}{2}$=π，
∴f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{6}$）的周期T₂=$\frac{2π}{\left|ω\right|}$=π，
∴ω=±2．
若ω=2，则f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）=2cos（$\frac{π}{6}$-2x）=2sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{6}$-2x）]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），即φ=$\frac{π}{3}$∈（0，$\frac{π}{2}$），满足题意；
若ω=-2，则f（x）=2cos（-2x-$\frac{π}{6}$）=2sin[$\frac{π}{2}$-（-$\frac{π}{6}$-2x）]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），即φ=$\frac{2π}{3}$∉（0，$\frac{π}{2}$），不满足题意；
∴f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
当k=0时，x=$\frac{π}{12}$就是函数f（x）图象的一条对称轴方程，
故选：D．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，确定出两函数的周期相同是突破口，也是关键点，确定ω=2是难点，想当然地认为ω=2，是思维不成熟的表现，考查深刻理解题意与综合应用能力，属于难题．