Question

9．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量$\overrightarrow{m}$=（2sin B，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{B}{2}$-1，cos 2B），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$；
（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，A=$\frac{5π}{12}$，求边长c．

Answer 1

分析 （1）由m⊥n可得2sin B•（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos 2B=0，利用三角函数恒等变换可得2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0（或tan2B=-$\sqrt{3}$）结合B为锐角即可解得B的值．
（2）由三角形内角和定理可求C，由正弦定理即可求得c=$\frac{bsinC}{sinB}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）m⊥n⇒2sin B•（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos 2B=0…（2分）
⇒sin 2B+$\sqrt{3}$cos 2B=0…（3分）
⇒2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0  （或tan2B=-$\sqrt{3}$）（B为锐角）…（4分）
⇒2B=$\frac{2π}{3}$⇒B=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，A=$\frac{5π}{12}$，∴C=$\frac{π}{4}$…（8分）
由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$…（10分）
∴c=$\frac{bsinC}{sinB}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，熟练掌握和灵活应用公式是解题的关键，属于中档题．