Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+2n=2a_n，则数列{a_n}的通项公式为    ．

Answer 1

【答案】分析：由S_n+2n=2a_n，知S_n=2a_n-2n．当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，由此能够求出数列{a_n}的通项公式a_n．
解答：解：∵S_n+2n=2a_n，∴S_n=2a_n-2n，
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
故答案为：a_n=2ⁿ⁺¹-2．
点评：本题考查等比数列的证明和求数列{a_n}的通项公式a_n，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．