Question

已知函数f（x）=x²+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．
（3）若对一切a∈[-3，3]，不等式f（x）≥a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？

Answer 1

分析：（1）将f（x）=x²+ax+3代入f（x）≥a，则将当x∈R时，f（x）≥a恒成立，转化为当x∈R时，x²+ax+3-a≥0恒成立，利用二次函数的性质，即△≤0，求解即可得到a的范围；
（2）令g（x）=x²+ax+3-a，将当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，转化为g（x）_min≥a，根据对称轴与区间[-2，2]的位置关系进行分类讨论，分别求出函数g（x）的最小值，列出不等式，分别求解出a的取值范围，最后取并集即可得到a的范围；
（3）对一切a∈[-3，3]，不等式f（x）≥a恒成立，转化为求x²+ax+3-a≥0在a∈[-3，3]上恒成立，令h（a）=（x-1）a+x²+3，要使h（a）≥0在[-3，3]上恒成立，只需

h(-3)≥0 h(3)≥0

，求解即可求得实数x的取值范围．

解答：解：（1）f（x）≥a即x²+ax+3-a≥0，
要使x∈R时，x²+ax+3-a≥0恒成立，
应有△=a²-4（3-a）≤0，
即a²+4a-12≤0，
解得-6≤a≤2；
（2）当x∈[-2，2]时，令g（x）=x²+ax+3-a，
当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，
转化为g（x）_min≥a，
分以下三种情况讨论：
①当-

a

2

≤-2即a≥4时，g（x）在[-2，2]上是增函数，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值为g（-2）=7-3a，
∴

a≥4 7-3a≥0

，解得a无解，
②当 -

a

2

≥2即a≤-4时，g（x）在[-2，2]上是递减函数，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值为g（2）=7+a，
∴

a≤-4 7+a≥0

，解得-7≤a≤-4，
③当-2＜-

a

2

＜2即-4＜a＜4时，g（x）在[-2，2]上的最小值为g（-

a

2

）=-

a2

4

-a+3，
∴

-4＜a＜4 - a2 4 -a+3≥0

，解得-4＜a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是-7≤a≤2；
（3）不等式f（x）≥a即x²+ax+3-a≥0．
令h（a）=（x-1）a+x²+3，
要使h（a）≥0在[-3，3]上恒成立，
只需

h(-3)≥0 h(3)≥0

，即

x2-3x+6≥0 x2+3x≥0

，
解得x≥0或x≤-3，
∴实数x的取值范围是x≥0或x≤-3．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑，对于二次函数的问题经常运用数形结合和分类讨论的数学思想方法．同时考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于中档题．