题目内容

已知向量 $数学公式$ 且 $数学公式$
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x₁，x₂且 $数学公式$ ，求x₁+x₂的值．

解：（1）由向量 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ +2
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）函数f（x）的周期为2π．
列表：

描点并用平滑曲线连接：

（3）由 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ ．
当K=-1时，得 $\text{[math]}$ ；当k=0时，得 $\text{[math]}$ ．
所以f（x）在[-π，π]上的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ．
（4）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
因为x∈[-π，π]，所以 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
所以当 $\text{[math]}$ 时方程f（x）=m的两个根x₁，x₂关于x= $\text{[math]}$ 对称．
所以x₁+x₂= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）直接把向量的坐标代入解析式，利用数量积的坐标运算化简；
（2）由 $\text{[math]}$ 分别取0， $\text{[math]}$ ，π， $\text{[math]}$ ，2π求出x的值进行列表，然后描点用平滑曲线连接；
（3）利用复合函数的单调性求出函数f（x）的单调区间，通过取k得值求出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间；
（4）分析得到满足 $\text{[math]}$ 时关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根x₁，x₂在 $\text{[math]}$ 内切关于x= $\text{[math]}$ 对称，利用中点坐标公式求x₁+x₂的值．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算，训练了利用五点作图法作函数的图象，训练了复合函数单调性的求法，考查了函数零点的判断方法，该题考查知识点多，训练了学生综合处理问题的能力，是中档题．