Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

3

，an+1=

an+1

3-an

．（1）求a₂，a₃，a₄的值；（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（1）通过n=1，2，3，利用a1=

1

3

，an+1=

an+1

3-an

求出a₂，a₃，a₄的值即可．
（2）根据（1）数列前4项的数值特征，猜想a_n的表达式，利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．

解答：解：（1）通过n=1，a1=

1

3

，a2=

a1+1

3-a1

=

1

2

，n=2，当a2=

1

2

，a3=

a2+1

3-a2

=

3

5

，当n=3，利用a4=

a3+1

3-a3

=

2

3

．
所以a₂，a₃，a₄的值分别为：

1

2

，

3

5

，

2

3

．
（2）由（1）可知数列的前4项为：

1

3

，

2

4

，

3

5

，

4

6

；分子为正自然数列，分母为正自然数加2，所以猜想a_n的表达式为：an=

n

n+2

．
证明：①当n=1时，显然成立，
②假设n=k时，猜想成立，即：ak=

k

k+2

，
那么，n=k+1时，ak+1=

ak+1

3-ak

=

k k+2 +1

3- k k+2

=

k+1

k+3

=

k+1

(k+1)+2

．
就是说，n=k+1时猜想成立．由①②可知对于n∈N₊时猜想成立．

点评：本题是中档题，考查已知数列的递推关系式，求出数列的前几项，猜想通项公式，利用数学归纳法证明猜想成立，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．